v1.10.0 (643)

Cours scientifique - MA103 : Introduction à la discrétisation des équations aux dérivées partielles

Domaine > Mathématiques et leurs applications.

Descriptif

Ce cours est centré sur la méthode des différences finies pour l'approximation des équations aux dérivées partielles de la physique (elliptiques, paraboliques et hyperboliques). C'est cette dernière classe d'équations qui fait l'objet de ce cours. Nous abordons les problèmes linéaires et non linéaires. L'objectif est alors de

- Introduire, sur des exemples modèles relativement simples, quelques propriétés essentielles des solutions de ces équations;

- Donner les bases de la méthode des différences finies, introduire les notions de schémas explicite et implicite;

- Sensibiliser les élèves aux notions de consistance, stabilité et convergence d'un schéma numérique;

Les deux autres catégories d'équations seront abordés dans deux cours de deuxième année sur la méthode des éléments finis (MA201 et MA 206).

Objectifs pédagogiques

Être capable d’étudier solutions des équations aux dérivées partielles hyperboliques, linéaires ou non et être capable d’analyser la méthode des différences finies pour l'approximation de ces équations à travers les notions de consistance, de stabilité et de convergence pour des schémas explicites ou implicites.

nombre d'heure en présentiel

21

nombre de blocs

7

Volume horaire par type d'activité pédagogique : types d'activité

  • Contrôle Final : 3
  • Travaux dirigés en salle info : 2
  • Petite classe : 10
  • Cours magistral : 6

effectifs minimal / maximal

145/155

Diplôme(s) concerné(s)

Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole nationale supérieure de techniques avancées

Avoir suivi MA101 et MA102.

 

Format des notes

Numérique sur 20

Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole nationale supérieure de techniques avancées

Vos modalités d'acquisition :

Examen écrit.

Le rattrapage est autorisé (Max entre les deux notes écrêté à une note seuil)
  • le rattrapage est obligatoire si :
    Note initiale < 6
  • le rattrapage peut être demandé par l'étudiant si :
    6 ≤ note initiale < 10
L'UE est acquise si Note finale >= 10
  • Crédits ECTS acquis : 1.75 ECTS
  • Scientifique acquis : 1.75

Le coefficient de l'UE est : 1.75

La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

L'UE est évaluée par les étudiants.

Programme détaillé

Cours 1: EQUATIONS HYPERBOLIQUES LINEAIRES
-Motivations
-Equation de transport à coefficients constants
-Systèmes hyperboliques à coefficients constants
INTRODUCTION AUX DIFFERENCES FINIES
-Généralités sur le calcul numérique
-Principe des différences finies

TD1: EQUATIONS HYPERBOLIQUES LINEAIRES
-Equation d'advection avec un terme d'absorption
-Equation d'advection avec condition au bord
-Equation des ondes

Cours 2: INTRODUCTION AUX DIFFERENCES FINIES ET APPLICATIONS AUX EQUATIONS HYPERBOLIQUES LINEAIRES
Construction du schéma centré pour l'équation d'avection
- Ordre/ Erreur de troncature
- Définition de la stabilité L^2  et analyse par la méthode de Fourier
Schéma de Lax Friedrichs
- Condition CFL
- Définition de la convergence

TD2: INTRODUCTION AUX DIFFERENCES FINIES ET APPLICATIONS AUX EQUATIONS HYPERBOLIQUES LINEAIRES
- Schémas numériques pour l'équation de transport
- Schéma de Lax-Wendroff
- Un schéma pour l'équation des ondes

Cours 3: INTRODUCTION AUX DIFFERENCES FINIES ET APPLICATIONS AUX EQUATIONS HYPERBOLIQUES LINEAIRES
PROBLEMES HYPERBOLIQUES LINEAIRES
Equation de transport à coefficients variables
PROBLEMES HYPERBOLIQUES NON LINEAIRES
Solution classique
Méthode des caractéristiques
Explosion en temps fini

TD3: INTRODUCTION AUX DIFFERENCES FINIES ET APPLICATIONS AUX EQUATIONS HYPERBOLIQUES LINEAIRES
- Un schéma pour l'équation des ondes
- Étude du schéma de Newmark par méthode énergétique

Cours 4: PROBLEMES HYPERBOLIQUES NON LINEAIRES
Notion de solution faible
Solution C^1pm (Relation de Rankine Hugoniot)
Non-unicité des solutions faibles
Notion de solution faible entropie

TD4: PROBLEMES HYPERBOLIQUES LINEAIRES
- Equation de transport à coefficients variables
PROBLEMES HYPERBOLIQUES NON LINEAIRES
- Solution classique
- Construction de l'onde de détente
- Naissance de l'onde de choc
- Non unicité des solutions faibles

Cours 5: PROBLEMES HYPERBOLIQUES NON LINEAIRES
Théorème d'existence/unicité
Propriétés de monotonie
Le problème de Riemann à 2 états dans le cas f convexe et f non convexe
- Solutions auto-similaires
- Formes des solutions

TD5 : PROBLEMES HYPERBOLIQUES NON LINEAIRES
- Problème de Riemann à 2 et 3 états

Cours 6: SCHEMAS NUMERIQUES POUR LES EQUATIONS HYPERBOLIQUES NON LINEAIRES
- Introduction aux schémas numériques
- Notion de schéma à 3 points, schéma conservatif, schéma entropique, schéma monotone
- Un exemple : le schéma de godunov

TD6 : SCHEMAS NUMERIQUES POUR LES EQUATIONS HYPERBOLIQUES NON LINEAIRES
Séance de travaux pratiques

Mots clés

différences finies, EDP, consistance, stabilité, convergence
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