v1.17.0 (1186)

Cours scientifique - MA103 : Introduction à la discrétisation des équations aux dérivées partielles

Domaine > Mathématiques et leurs applications.

Descriptif

Ce cours est centré sur la méthode des différences finies pour l'approximation des équations aux dérivées partielles de la physique (elliptiques, paraboliques et hyperboliques). C'est cette dernière classe d'équations qui fait l'objet de ce cours. Nous abordons les problèmes linéaires et non linéaires. L'objectif est alors de

- Introduire, sur des exemples modèles relativement simples, quelques propriétés essentielles des solutions de ces équations;

- Donner les bases de la méthode des différences finies, introduire les notions de schémas explicite et implicite;

- Sensibiliser les élèves aux notions de consistance, stabilité et convergence d'un schéma numérique;

Les deux autres catégories d'équations seront abordés dans deux cours de deuxième année sur la méthode des éléments finis (ANN201 et ANN202).

Objectifs pédagogiques

Être capable d’étudier les solutions des équations aux dérivées partielles hyperboliques, linéaires ou non et être capable d’analyser la méthode des différences finies pour l'approximation de ces équations à travers les notions de consistance, de stabilité et de convergence pour des schémas explicites ou implicites.

nombre d'heure en présentiel

21

nombre de blocs

7

Volume horaire par type d'activité pédagogique : types d'activité

  • Cours magistral : 6
  • Contrôle : 3
  • Travaux dirigés en salle info : 2
  • Petite classe : 10

effectifs minimal / maximal

145/155

Diplôme(s) concerné(s)

Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole nationale supérieure de techniques avancées

Avoir suivi MA101 et MA102.

 

Format des notes

Numérique sur 20

Littérale/grade européen

Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole nationale supérieure de techniques avancées

Vos modalités d'acquisition :

Examen écrit.

Le rattrapage est autorisé (Max entre les deux notes écrêté à une note seuil)
  • le rattrapage est obligatoire si :
    Note initiale < 6
  • le rattrapage peut être demandé par l'étudiant si :
    6 ≤ note initiale < 10
L'UE est acquise si Note finale >= 10
  • Crédits ECTS acquis : 1.75 ECTS
  • Scientifique acquis : 1.75

Le coefficient de l'UE est : 1.75

La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

L'UE est évaluée par les étudiants.

Programme détaillé

Cours 1: EQUATIONS HYPERBOLIQUES LINEAIRES
-Motivations
-Equation de transport à coefficients constants
-Systèmes hyperboliques à coefficients constants

-Equation de transport à coefficients variables

TD1: EQUATIONS HYPERBOLIQUES LINEAIRES
-Equation d'advection avec un terme d'absorption
-Equation d'advection avec condition au bord
-Equation des ondes


Cours 2: PROBLEMES HYPERBOLIQUES NON LINEAIRES
Solution classique
Méthode des caractéristiques
Explosion en temps fini

Notion de solution faible
Solution C^1pm (Relation de Rankine Hugoniot)
Non-unicité des solutions faibles
Notion de solution faible entropie

 

TD2: PROBLEMES HYPERBOLIQUES LINEAIRES
- Equation de transport à coefficients variables
PROBLEMES HYPERBOLIQUES NON LINEAIRES
- Solution classique
- Construction de l'onde de détente
- Naissance de l'onde de choc
- Non unicité des solutions faibles

 

Cours 3: PROBLEMES HYPERBOLIQUES NON LINEAIRES
PROBLEMES HYPERBOLIQUES NON LINEAIRES
Théorème d'existence/unicité
Propriétés de monotonie
Le problème de Riemann à 2 états dans le cas f convexe et f non convexe
- Solutions auto-similaires
- Formes des solutions

TD3 : PROBLEMES HYPERBOLIQUES NON LINEAIRES
- Problème de Riemann à 2 et 3 états

 

 

Cours 4-5: INTRODUCTION AUX DIFFERENCES FINIES
- Généralités sur le calcul numérique
- Principe des différences finies
- Construction du schéma centré pour l'équation d'avection
- Ordre/ Erreur de troncature
- Définition de la stabilité L^2  et analyse par la méthode de Fourier
Schéma de Lax Friedrichs
- Condition CFL
- Définition de la convergence

 

 

TD4: INTRODUCTION AUX DIFFERENCES FINIES ET APPLICATIONS AUX EQUATIONS HYPERBOLIQUES LINEAIRES
- Schémas numériques pour l'équation de transport
- Schéma de Lax-Wendroff
- Un schéma pour l'équation des ondes

 

TD5: INTRODUCTION AUX DIFFERENCES FINIES ET APPLICATIONS AUX EQUATIONS HYPERBOLIQUES LINEAIRES
- Un schéma pour l'équation des ondes
- Étude du schéma de Newmark par méthode énergétique

 

 

Cours 6: SCHEMAS NUMERIQUES POUR LES EQUATIONS HYPERBOLIQUES NON LINEAIRES
- Introduction aux schémas numériques
- Notion de schéma à 3 points, schéma conservatif, schéma entropique, schéma monotone
- Un exemple : le schéma de godunov

TD6 : SCHEMAS NUMERIQUES POUR LES EQUATIONS HYPERBOLIQUES NON LINEAIRES
Séance de travaux pratiques

Mots clés

différences finies, EDP, consistance, stabilité, convergence

Méthodes pédagogiques

Polycopié

Support pédagogique multimédia

Oui

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