v1.10.0 (643)

Cours scientifique - MAE21 : Module Electif - Théorie spectrale des opérateurs autoadjoints_S2

Domaine > Analyse et Calcul Scientifique, Mathématiques et leurs applications.

Descriptif

Nous introduirons dans ce cours les principales notions mathématiques relatives à l'étude du spectre d'un opérateur autoadjoint. Ce spectre peut comporter à la fois une partie continue et une partie discrète, formée de valeurs propres. Nous montrerons que le Principe du Min-Max permet d'accéder à des informations qualitatives et quantitatives très précises sur ces valeurs propres (résultats d'existence, encadrement).
Tout au long du cours, nous montrerons comment cette théorie s'applique à divers problèmes physiques, notamment à l'étude des guides d'ondes. Nous nous intéresserons plus particulièrement à l'étude des guides dits ouverts, dont la fibre optique constitue un exemple important.

Objectifs pédagogiques

Être capable de mettre en oeuvre les principales notions et théorèmes de la théorie spectrale sur divers modèles de propagation d'ondes.

nombre d'heure en présentiel

36

nombre de blocs

12

Diplôme(s) concerné(s)

Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole nationale supérieure de techniques avancées

MA 102

Format des notes

Numérique sur 20

Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole nationale supérieure de techniques avancées

Vos modalités d'acquisition :

Contrôle écrit de 3h

Le rattrapage est autorisé (Max entre les deux notes écrêté à une note seuil)
  • le rattrapage est obligatoire si :
    Note initiale < 6
  • le rattrapage peut être demandé par l'étudiant si :
    6 ≤ note initiale < 10
L'UE est acquise si Note finale >= 10
  • Crédits ECTS acquis : 3 ECTS
  • Scientifique acquis : 3

Le coefficient de l'UE est : 3

La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

L'UE est évaluée par les étudiants.

Programme détaillé

1. Cours : Introduction aux guides d'ondes. La notion d'opérateur non borné. / TD : Exemples monodimensionnels de guides d'ondes. Exemples d’opérateurs bornés ou non bornés, fermés ou non fermés, calcul d’adjoints.
2. Cours : Opérateurs autoadjoints : définition et caractérisation. Ensemble résolvant et spectre (ponctuel, résiduel, continu). / TD : Caractère autoadjoint de l’opérateur scalaire des modes guidés. Spectre de l’opérateur de multiplication dans L2. Spectre de l’opérateur de translation sur l2.
3. Cours : Notions de compacité et de convergence faible dans un espace de Hilbert. Opérateurs compacts ou à résolvante compacte. / TD : Exercices.
4. Cours : Théorie spectrale des opérateurs autoadjoints compacts. / TD : Applications.
5. Cours : Étude des guides d’ondes fermés. / TD : Formules de min-max.
6. Cours : Spectre des opérateurs autoadjoints non compacts : définition et caractérisation du spectre essentiel. / TD : Démonstration du théorème de Weyl. Détermination du spectre essentiel pour le problème de la fibre optique.
7. Cours : Spectre des opérateurs autoadjoints non compacts : relations entre l’image numérique et le spectre, application à la preuve de l’existence de valeurs propres. / TD : Etude du mode fondamental d’une fibre optique.
8. Cours : Principe du Min-Max. / TD : Principe de comparaison de Dirichlet.
9. Cours : Le théorème spectral : décomposition spectrale d’un opérateur autoadjoint. TD : La formule de Stone.
10 : Réinventer la transformée de Fourier.
11 : Séance de révision.
12 : Examen final

Mots clés

opérateur autoadjoint, compacité, spectre discret, spectre essentiel, principe du min-max

Méthodes pédagogiques

polycopié et énoncés de TD
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