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Cours scientifique - PRB201 : Chaînes de Markov

Domaine > Mathématiques et leurs applications.

Descriptif

La théorie des chaînes de Markov fournit un cadre mathématique rigoureux pour décrire une certaine classe d'évolutions aléatoires, dans lesquelles toute l’information sur (la loi) du futur de la chaîne est concentré dans son état présent.

Dans le cas d’une évolution à temps et à espace d’état finis, une telle chaîne est simplement décrite par la donnée une matrice carrée de taille finie, dite matrice stochastique, dont l’étude grâce aux outils de l’algèbre linéaire permet de faire apparaitre de façon simple les principaux objets de la théorie.

Un théorème clef énonce alors, sous des conditions très générales, l’existence et l’unicité d’une mesure invariante vers laquelle la loi de la chaîne converge en temps long.

En pratique, il importe de quantifier le temps au bout duquel la loi de la chaîne est proche de sa mesure stationnaire. Ceci amène a définir une distance entre mesures de probabilité (la distance en variation totale), ainsi qu’un temps de mélange (relatif à cette distance). Une question assez récente consiste a étudier la dépendance du temps de mélange en la taille de l’espace d’état.

Au terme du cours, on sera par exemple en mesure de savoir combien de fois les cartes d’un jeu doivent être battues pour s’assurer que le tas est bien mélangé.
 
Référence: Le cours s'appuiera sur (un sous-ensemble de) l'ouvrage Markov Chains and Mixing Times par Levin, Peres et Wilmer. 

Remarque: ce cours compte pour 3 ECTs pour l'obtention du M1-Mathématiques Appliquées

Objectifs pédagogiques

Être capable, grâce à la connaissance des principaux éléments de la théorie des chaînes de Markov :
  • d’analyser ce type de modèle (discrets en temps et en espace);
  • d’apporter des résultats qualitatifs et quantitatifs, ces derniers de façon exacte ou approchée.

Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole nationale supérieure de techniques avancées

Avoir suivi le cours MA101 en 1ère année.

 

Format des notes

Numérique sur 20

Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole nationale supérieure de techniques avancées

Vos modalités d'acquisition :

Examen écrit.

Le rattrapage est autorisé (Max entre les deux notes écrêté à une note seuil)
  • le rattrapage est obligatoire si :
    Note initiale < 6
  • le rattrapage peut être demandé par l'étudiant si :
    6 ≤ note initiale < 10
L'UE est acquise si Note finale >= 10
  • Crédits ECTS acquis : 2 ECTS
  • Scientifique acquis : 2

Le coefficient de l'UE est : 2

La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

L'UE est évaluée par les étudiants.

Programme détaillé

  1. Amphi + TD
  2. Amphi + TD
  3. Amphi + TD
  4. Amphi + TD
  5. Amphi + TD
  6. Amphi + TD
  7. Examen écrit.

Mots clés

Chaînes de Markov

Méthodes pédagogiques

"Markov Chains and Mixing Times" par Levin, Peres et Wilmer.
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