v1.14.0 (790)

Cours scientifique - ANN201 : La méthode des éléments finis

Domaine > Sciences et technologies de l'information et de la communication, Mathématiques et leurs applications.

Descriptif

Ce cours présente les fondements mathematiques, ainsi que les aspects pratiques, de la méthode des éléments finis, qui permet notamment de résoudre des équations aux dérivées partielles (EDP) issues de la physique, de la mécanique, de la finance, et de bien d'autres domaines.

Dans sa partie la plus fondamentale, nous commencerons par positionner brièvement la méthode des éléments finis par rapport à d'autres méthodes numériques, avant d'aborder la classification des EDP (elliptique, parabolique, hyperbolique). Dans la suite, nous nous concentrerons sur la discrétisation des EDP elliptiques.
Nous développerons les outils théoriques permettant de résoudre ces EDP, avec en particulier la théorie variationnelle.
Nous passerons ensuite à la discrétisation de ces EDP à l'aide de la méthode dite de Galerkin, qui englobe notamment la méthode des éléments finis (l'analyse de convergence sera réalisée à cette occasion).

Dans la partie la plus concrète du cours, nous proposerons une présentation algorithmique de la méthode, intimement liée à son l'implémentation sur ordinateur. La mise en oeuvre informatique sera expérimentée lors de plusieurs séances de TP, réalisées en Matlab. L'accent sera mis sur la résolution numérique de problèmes "tests".

Des extensions de la méthode des éléments finis, incluant notamment la discrétisation d'EDP paraboliques ou hyperboliques, seront présentées dans le cadre du cours MAP-ANN2.

Remarque: ce cours compte pour 3 ECTs pour l'obtention du M1-Mathématiques Appliquées

Objectifs pédagogiques

Être capable, grâce aux connaissances des fondements mathématiques de la méthode des éléments finis de
- développer les outils théoriques permettant de résoudre les EDP elliptiques à l’aide, en particulier, de la théorie variationnelle ;
- discrétiser ces EDP à l'aide de la méthode dite de Galerkin, qui englobe notamment la méthode des éléments finis, et en analyser la convergence ;
- mettre en œuvre numériquement la méthode des éléments finis sous Matlab.

Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole nationale supérieure de techniques avancées

Avoir suivi le cours MA102 de 1ère année.

 

Format des notes

Numérique sur 20

Littérale/grade européen

Pour les étudiants du diplôme Master 1 Mathématiques et Applications - site Palaiseau

Vos modalités d'acquisition :

F=note finale, PR=Projet, TD=Travaux dirigés, E=Examen final - Session 1 Paris-Sud : F=0,5PR+0,25TD+0,25E - Session 1 ENSTA : F=0,5TD+0,5E -
Session 2 : F=1E

Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)
  • le rattrapage est obligatoire si :
    Note initiale < 7
  • le rattrapage peut être demandé par l'étudiant si :
    7 ≤ note initiale < 10
L'UE est acquise si Note finale >= 10
  • Crédits ECTS acquis : 3 ECTS

Le coefficient de l'UE est : 3

La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

Pour les étudiants du diplôme Master 1 Mathématiques et Applications - site Orsay

Vos modalités d'acquisition :

F=note finale, PR=Projet, TD=Travaux dirigés, E=Examen final - Session 1 Paris-Sud : F=0,5PR+0,25TD+0,25E - Session 1 ENSTA : F=0,5TD+0,5E -
Session 2 : F=1E

Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)
  • le rattrapage est obligatoire si :
    Note initiale < 7
  • le rattrapage peut être demandé par l'étudiant si :
    7 ≤ note initiale < 10
L'UE est acquise si Note finale >= 10
  • Crédits ECTS acquis : 3 ECTS

Le coefficient de l'UE est : 3

La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole nationale supérieure de techniques avancées

Vos modalités d'acquisition :

Pour l'année 2017/2018, en deux parties :
1 - Examen écrit lors de la quatrième séance. Pour cet examen, AUCUN document n'est autorisé ;
2 - Contrôle continu (3 TP Matlab).

Notation : examen écrit (50%), contrôle continu (50%).


Enoncés/corrigés des examens passés :

<A href="http://www.ensta.fr/~ciarlet/MA201/MA201-Examen-07-08.pdf">Examen MA201 2007-2008</A> <A href="http://www.ensta.fr/~ciarlet/MA201/MA201-Corrige-07-08.pdf">Corrige MA201 2007-2008</A>
<A href="http://www.ensta.fr/~ciarlet/MA201/MA201-Examen-08-09.pdf">Examen MA201 2008-2009</A> <A href="http://www.ensta.fr/~ciarlet/MA201/MA201-Corrige-08-09.pdf">Corrige MA201 2008-2009</A>
<A href="http://www.ensta.fr/~ciarlet/MA201/MA201-Examen-09-10.pdf">Examen MA201 2009-2010</A> <A href="http://www.ensta.fr/~ciarlet/MA201/MA201-Corrige-09-10.pdf">Corrige MA201 2009-2010</A>

<A href="http://www.ensta.fr/~ciarlet/MA201/MA201-Examen-10-11.pdf">Examen MA201 2010-2011</A>
<A href="http://www.ensta.fr/~ciarlet/MA201/MA201-Examen-11-12.pdf">Examen MA201 2011-2012</A>


NB. Les trois premiers examens ont été proposés avec des modalités différentes (dernière séance, durée 3 heures, avec documents de cours).

Le rattrapage est autorisé (Max entre les deux notes écrêté à une note seuil)
  • le rattrapage est obligatoire si :
    Note initiale < 6
  • le rattrapage peut être demandé par l'étudiant si :
    6 ≤ note initiale < 10
L'UE est acquise si Note finale >= 10
  • Crédits ECTS acquis : 2 ECTS
  • Scientifique acquis : 2

Le coefficient de l'UE est : 2

La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

L'UE est évaluée par les étudiants.

Programme détaillé

1. Présentation générale et outils mathématiques
2. TD
3. Formulations variationnelles
4. TD
5. Résolution des formulations variationnelles : théorème de Lax-Milgram, fonctionnelle énergie
6. TD
7. Méthode de Galerkin et méthode des éléments finis
8. Examen (partie théorique)
9. Méthode des éléments finis de Lagrange et algorithmes
10. TP Matlab : mise en oeuvre de la méthode des éléments finis pour le problème de Poisson
11. Méthode des éléments finis : convergence
12. TP Matlab : mise en oeuvre de la méthode des éléments finis pour un problème à coefficients variables
13. Queslques extensions
14. TP Matlab : mise en oeuvre de la méthode des éléments finis pour le problème de Helmholtz

Mots clés

Équations aux dérivées partielles, formulations variationnelles, discrétisation, méthode des éléments finis, convergence, mise en oeuvre informatique
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