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Cours scientifique - PRB202 : Martingales et Algorithmes Stochastiques

Domaine > Mathématiques et leurs applications.

Descriptif

Il s'agit d'un cours de probabilités avancées qui s'inscrit dans le prolongement du cours de probabilités de première année et de chaînes de Markov de deuxième année. 

On s'intéressera à deux types de processus aléatoires remarquables à temps discret : les martingales et les chaînes de Markov à espaces d'états dénombrables. Nous en étudierons certaines propriétés, en particulier le comportement asymptotique. Nous appliquerons alors cette partie théorique à l'étude de quelques algorithmes stochastiques.

Objectifs pédagogiques

  • Savoir étudier le comportement asymptotique de la théorie en temps discret des martingales et des chaînes de Markov à états dénombrables.
  • Savoir appliquer l’algorithme de Robins-Monro.

Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole nationale supérieure de techniques avancées

  • cours MA101 en 1ère année.
  • cours PRB201.

 

Pour les étudiants du diplôme Master 1 Mathématiques et Applications - site Orsay

PRB201

Format des notes

Numérique sur 20

Littérale/grade européen

Pour les étudiants du diplôme Master 1 Mathématiques et Applications - site Palaiseau

Vos modalités d'acquisition : Examen écrit ou oral

Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)
  • le rattrapage est obligatoire si :
    Note initiale < 7
  • le rattrapage peut être demandé par l'étudiant si :
    7 ≤ note initiale < 10
L'UE est acquise si Note finale >=
  • Crédits ECTS acquis : 2 ECTS

Le coefficient de l'UE est : 2

La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

Pour les étudiants du diplôme Master 1 Mathématiques et Applications - site Orsay

Vos modalités d'acquisition : Examen écrit ou oral

Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)
  • le rattrapage est obligatoire si :
    Note initiale < 7
  • le rattrapage peut être demandé par l'étudiant si :
    7 ≤ note initiale < 10
L'UE est acquise si Note finale >= 10
  • Crédits ECTS acquis : 2 ECTS

Le coefficient de l'UE est : 2

La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole nationale supérieure de techniques avancées

Vos modalités d'acquisition :

Examen écrit final

Le rattrapage est autorisé (Max entre les deux notes écrêté à une note seuil)
  • le rattrapage est obligatoire si :
    Note initiale < 6
  • le rattrapage peut être demandé par l'étudiant si :
    6 ≤ note initiale < 10
L'UE est acquise si Note finale >= 10
  • Crédits ECTS acquis : 2 ECTS
  • Scientifique acquis : 2

Le coefficient de l'UE est : 2

La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

L'UE est évaluée par les étudiants.

Programme détaillé

  1. Espérance conditionnelle : construction dans le cas L^2 comme un projecteur orthogonal, extension au cas L^1 et des variables aléatoires positives, propriétés et règles de calcul, loi conditionnelle (sous réserve).
  2. Notions sur les processus stochastiques à temps discret. Définitions martingale, sous-(sur-)martingale, propriétés élémentaires, transformation par une fonction convexe ou convexe croissante.
  3. Théorème de Décomposition de Doob pour une sous-martingale, crochet d'une martingale L^2. -- "Intégrale stochastique discrète".
  4. Notion de temps d'arrêt. -- Martingales (sous-, sur-martingales) arrêtées, premier théorème d'arrêt de Doob (cas des temps d'arrêt bornés). -- Inégalités de Doob, -- Théorèmes de convergence presque-sûre pour une sous-martingale uniformément bornée dans L^1, convergence presque-sûre et dans L^2 pour une martingale uniformément bornée dans L^2.
  5. Intégrabilité uniforme; martingales fermées ou régulières, convergence dans L^1 pour une martingale uniformément intégrable, -- second théorème d'arrêt de Doob (cas d'un temps d'arrêt fini et la martingale arrêtée associée est uniformément intégrable).
  6. Algorithme de Robins-Morro.
  7. Examen écrit

Mots clés

Martingales
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