v1.10.0 (643)

Cours scientifique - AO101 : Optimisation Quadratique

Domaine > Mathématiques et leurs applications.

Descriptif

L'objectif de ce cours est de donner un aperçu à la fois théorique et pratique d'un domaine des mathématiques dont les applications sont multiples et variées: mécanique, économie,finance, industrie, ...

Il s'agit d'une introduction à la théorie de l'optimisation différentiable nonlinéaire - et en particulier, l'optimisation quadratique.
Le premier chapitre introduit des notions mathématiques fondamentales à maîtriser avant de s’intéresser à la résolution à proprement parler de tout problème d’optimisation : la description et modélisation d'un problème d'optimisation, la notion de solution locale/globale, rappel du calcul différentiel, et éléments basiques de l'analyse convexe.

Dans le chapitre suivant, nous analyserons les questions d'existence et d'unicité d'un minimum. Ensuite, se posera la question de caractérisation du minimum dans le cadre sans contraintes et avec contraintes. Cette caractérisation se fera par des conditions d'optimalité (Inéquation d'Euler) qu'on décrira d'abord dans un cadre assez général lorsque l'ensemble des contraintes est convexe.
Ces conditions seront précisées dans le cas de contraintes d'égalités ou inégalités linéaires.

Une autre partie du cours sera dédiée aux algorithmes d'optimisation quadratique (gradient à pas optimal, gradient à pas fixe, gradient conjugué, gradient projeté, algorithme d'Uzawa).

Objectifs pédagogiques

Être capable d'étudier l'existence et unicité de solution pour un problème d'optimisation;
Être capable d'énoncer les conditions d'optimalité et les discuter;
Être capable d'implémenter numériquement des méthodes de descente pour résoudre un problème d'optimisation avec ou sans contraintes;
Être capable d'étudier la convergence des méthodes de descente et d'analyser la vitesse de convergence des ces méthodes.

nombre d'heure en présentiel

21

nombre de blocs

7

Volume horaire par type d'activité pédagogique : types d'activité

  • Cours magistral : 5
  • Petite classe : 8
  • Contrôle Final : 3
  • Travaux dirigés en salle info : 2
  • Bloc de 1/2 journée en salle info : 3

effectifs minimal / maximal

145/155

Diplôme(s) concerné(s)

Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole nationale supérieure de techniques avancées

Aucun pré-requis pour suivre ce cours.

Format des notes

Numérique sur 20

Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole nationale supérieure de techniques avancées

Vos modalités d'acquisition :

Examen écrit  + TP noté (+DM)

Le rattrapage est autorisé (Max entre les deux notes écrêté à une note seuil)
  • le rattrapage est obligatoire si :
    Note initiale < 6
  • le rattrapage peut être demandé par l'étudiant si :
    6 ≤ note initiale < 10
L'UE est acquise si Note finale >= 10
  • Crédits ECTS acquis : 1.75 ECTS
  • Scientifique acquis : 1.75

Le coefficient de l'UE est : 1.75

La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

L'UE est évaluée par les étudiants.

Programme détaillé

1. Existence d'un minimum. Convexité, différentiabilité (1h cours + 2h TD)
2. Conditions d'optimalité (Equations d'Euler).  Problème de moindres carrés (1h cours + 2h TD +DM)
3. Méthodes numériques pour le cas sans contraintes. Systèmes linéaires(1h cours + 2h TD)
4. Conditions de minimalité pour le cas avec contraintes (1h cours + 2h TD +DM)
5. Mise en oeuvre de quelques méthodes numériques pour le cas avec contraintes. (3h TP noté)
6. Analyse de convergence des méthodes numériques: cas avec contraintes (1h cours + 2h TD)
7. Examen  Ecrit  (3h)

Mots clés

Optimisation non linéaire, conditions d'optimalité, analyse convexe, algorithmes d'optimisation

Méthodes pédagogiques

Polycopié, Copie des supports de cours, corrections des pcs
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