v1.11.0 (682)

Cours scientifique - MA102 : Outils élémentaires d'analyse pour les équations aux dérivées partielles

Domaine > Mathématiques et leurs applications.

Descriptif

Le cours d'analyse constitue une introduction à l'analyse fonctionnelle et à ses applications à l'étude des équations aux dérivées partielles linéaires. L'objectif de ce cours consiste à familiariser les étudiants avec quelques-unes des idées essentielles sur lesquelles s'appuie l'étude des modèles les plus simples de la physique et de la mécanique. Il ne s'agit pas seulement de fournir des méthodes pour la résolution de ces équations, mais aussi d'amener à une meilleure compréhension des phénomènes dont elles constituent le modèle.

Le cours se compose de quatre parties :

La première est consacrée à des rappels de topologie, aux notions de convergence dans les espaces de fonctions et aux théorèmes essentiels relatifs à l'intégration. Ces résultats forment la base technique indispensable sur laquelle s'appuie le reste du cours.

La deuxième partie est consacrée aux distributions, qui généralisent les fonctions, ainsi qu'aux principales opérations qu'elles supportent : dérivation et multiplication.

La troisième partie introduit la transformation de Fourier, dans un premier temps pour les fonctions intégrables, puis pour les fonctions de carré intégrables.

La quatrième partie est relative à l'application de la méthode variationnelle à l'étude des équations aux dérivées partielles linéaires, dans le cadre des espaces de Sobolev. Cette méthode permet en particulier d'apporter une réponse aux questions d'existence et d'unicité de la solution du problème posé.

Objectifs pédagogiques

Être capable d’utiliser certains outils élémentaires pour l’analyse des équations aux  dérivées partielles (EDP) linéaires : l’intégrale de Lebesgue, les distributions, leur convolution, leur transformée de Fourier, les espaces de Sobolev, et enfin la notion de formulation variationnelle des EDP elliptiques.

nombre d'heure en présentiel

41

nombre de blocs

14

Volume horaire par type d'activité pédagogique : types d'activité

  • Contrôle Final : 3
  • Cours magistral : 12
  • Petite classe : 24
  • Contrôle mi-parcours : 2

effectifs minimal / maximal

145/155

Diplôme(s) concerné(s)

Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole nationale supérieure de techniques avancées

Aucun pré-requis pour ce cours de 1ère année.

Format des notes

Numérique sur 20

Littérale/grade américain

Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole nationale supérieure de techniques avancées

Vos modalités d'acquisition :

 Partiel et examen écrits, sans documents.

Le rattrapage est autorisé (Max entre les deux notes écrêté à une note seuil)
  • le rattrapage est obligatoire si :
    Note initiale < 6
  • le rattrapage peut être demandé par l'étudiant si :
    6 ≤ note initiale < 10
L'UE est acquise si Note finale >= 10
  • Crédits ECTS acquis : 3.5 ECTS
  • Scientifique acquis : 3.5

Le coefficient de l'UE est : 3.5

La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

L'UE est évaluée par les étudiants.

Programme détaillé

- Convergence dans les espaces de fonctions
- La théorie de l'intégrale de Lebesgue
- Intégrales multiples, convolution
- Outils pratiques pour l'intégration
- Les distributions - Introduction
- Opérations élémentaires sur les distributions
- La transformation de Fourier des fonctions intégrables
- La transformation de Fourier des fonctions de carré intégrable
- Espaces de Hilbert
- Espaces de Sobolev
- Introduction aux formulations variationnelles
- Exemples de problèmes variationnels




Mots clés

intégrale de Lebesgue, distributions, transformation de Fourier, espaces de Hilbert, méthode variationnelle

Méthodes pédagogiques

Polycopié, fiches de résumés, textes de petites classes
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