Descriptif
Le cours est consacré à une présentation du problème de la transition vers la turbulence et à ses prolongements intéressant les sciences de l'ingénieur. Quelques mécanismes classiques d'instabilité à l'origine de cette transition sont analysés en détails. La genèse des structures dissipatives est discutée sur l'exemple, conceptuellement simple, de la convection naturelle. La stabilité des écoulements hydrodynamiques, importante pour les applications, est ensuite passée en revue.
L'étude des aspects non-linéaires est rationalisée par une approche de portée très générale en termes de systèmes dynamiques. Celle-ci permet aussi d'illustrer différents scénarios de transition vers la turbulence dans le cadre de la théorie du chaos déterministe dont les éléments essentiels sont introduits.
Au delà du cadre strict de l'hydrodynamique dans lequel il est situé, il vise à transmettre un état d'esprit face aux nombreuses situations où les non-linéarités apparaissent responsables d'une phénoménologie "complexe".
Objectifs pédagogiques
Être capable :
-de définir, analyser et hiérarchiser les mécanismes physiques impliqués dans la dynamique de l’écoulement
-d’en déduire les hypothèses permettant de définir un modèle pertinent pour étudier le phénomène à comprendre
-de mettre le modèle en équation
-d’évaluer le rôle des non-linéarités et la nécessité de leur prise en compte
-de mener une analyse de stabilité d’écoulement
-de manipuler les techniques d’analyse des équations de la dynamique des fluides dans le cadre de la stabilité d’écoulements (instabilités linéaires, modes non normaux, systèmes dynamiques)
-de définir les caractéristiques d’un écoulement hors équilibre
-de déduire la dynamique observable en fonction des paramètres de contrôle
Maîtriser les concepts suivants :
-Systèmes dynamiques non-linéaires,
-espace des phases, instabilité (théorie générale),
-convection,
-structures dissipatives,
-stabilité des écoulements,
-chaos,
-transition à la turbulence
Diplôme(s) concerné(s)
Parcours de rattachement
- Voie - Simulation et Ingénierie Mathématique - Ouvertures sur la mécanique et la physique_S2
- Voie - Mécanique, Informatique, Commande et Signal_S2
- Voie - Systèmes Mécaniques et Environnement_S2
- Voie - Simulation et Ingénierie Mathématique - Ouverture sur les Systèmes d'Information_S2
- Voie - Simulation et Ingénierie Mathématique - parcours standard_S2
Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées
Cours "Mécanique des fluides incompressibles" (MF101)
Format des notes
Numérique sur 20Littérale/grade européenPour les étudiants du diplôme Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées
Le rattrapage est autorisé (Max entre les deux notes écrêté à une note seuil)- le rattrapage est obligatoire si :
- Note initiale < 6
- le rattrapage peut être demandé par l'étudiant si :
- 6 ≤ note initiale < 10
- Crédits ECTS acquis : 3 ECTS
- Scientifique acquis : 3
Le coefficient de l'UE est : 3
La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.
L'UE est évaluée par les étudiants.
Programme détaillé
Séance 1 : Introduction générale ; illustrations (vidéos) ; mécanismes physiques d'instabilités ; notion de relation de dispersion.
Séance 2 : Instabilités dans les écoulements fermés. Application à la convection binaire
Séance 3 : Instabilités dans les écoulements cisaillés ouverts : formalisme linéaire, équations de Orr-Sommerfeld, fluides parfaits et théorème de Rayleigh, théorème de Squire.
Application à l'instabilité de Kelvin-Helmholtz : Mise en équations du modèle en ligne brisées de couche de mélange
Séance 4 : Instabilité de KH, suite et fin. Illustrations. Ouverture vers le développement d'instabilités spatiales. Notions d'instabilités primaire, secondaire 2D, secondaire 3D.
Séance 5 : Introduction aux croissances transitoires. Illustration sur un modèle simplifié du mécanisme de lift-up.
Séance 6 : Saturation non-linéaire des instabilités. Illustration sur un cas simple : triades résonantes. Transitions sous-critiques et perturbations d'amplitudes finies.
Séance 7 : Instabilité de Rayleigh-Bénard et modèle de Lorenz 1 : mise en équation, projection sur les modes normaux et établissement du modèle de Lorenz.
Système dynamique : introduction des notions essentielles (classification des points fixes, dynamique linéaire et non linéaire, variétés centrales, stables et instables)
Séance 8 : Bifurcations Instabilité de Rayleigh-Bénard et modèle de Lorenz 2 : Analyse des points fixes du modèle de Lorenz.
Notion de bifurcations et de forme normale. Bifurcations élémentaires de codimension 1. Bifurcation locale et globale.
Illustration du comportement chaotique sur le système de Lorenz.
Séance 9 : Analyse en modes normaux, réduction à la variété centrale. Stabilité d'un cycle limite. Transition au chaos.
Étude de l'équation logistique
Séance 10 : Exposant de Lyapunov, dimension d'un attracteur, dimension fractale. Oscillateur forcé
TD numérique : Dynamique chaotique, diagramme de bifurcation
Séance 11 : Mélange lagrangien : le chaos dans l'espace physique. Illustration en convection naturelle.
Séance 12 : Évaluation