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Cours scientifique - AO102 : Systèmes Dynamiques: Analyse et Stabilité

Domaine > Mathématiques et leurs applications.

Descriptif

Les systèmes dynamiques sont les modèles mathématiques des phénomènes évoluant dans le temps, ces phénomènes pouvant provenir de la physique, la mécanique, l'économie, la biologie, l'écologie, la chimie... Un système dynamique est constitué d'un espace de phases, l'espace des états possibles du phénomène convenablement paramétré, muni d'une loi d'évolution qui décrit la variation temporelle de l'état du système. Dans le cadre de ce cours (lois déterministes, en temps continu), cette loi d'évolution prend la forme d'une équation différentielle.

La résolution explicite, ou même approchée, d’une équation différentielle est en général impossible. La théorie vise donc plutôt une étude qualitative des phénomènes et cherche en particulier à en comprendre l'évolution à long terme.

Le présent cours a deux objectifs.

Le premier est d'aborder l'étude générale des systèmes dynamiques régis par des équations différentielles ordinaires. L'accent est mis principalement sur la notion de stabilité dont l'importance, pour de nombreux problèmes pratiques, est comparable à celle de la connaissance effective des solutions.

Le deuxième objectif est de présenter une introduction à la commande des systèmes dynamiques, c'est-à-dire à l'automatique. Nous aborderons en particulier dans le cadre de l'automatique linéaire l'étude des notions essentielles que sont la commandabilité, l'observabilité et la stabilisation.

Enfin, en préalable à ces deux parties, deux séances sont consacrées au calcul différentiel:  application linéaire tangente, théorèmes d'inversion locale et des fonctions implicites... Ces concepts sont nécessaires pour la partie du cours qui concerne la linéarisation, mais leur utilité dépasse largement le cadre des équations différentielles.

Objectifs pédagogiques

Être capable de mettre en oeuvre les principales notions et théorèmes du calcul différentiel (calcul de différentielle, théorème des fonctions implicites).

Être capable, grâce à la connaissance des principes fondamentaux de la théorie des systèmes dynamiques :
- d’étudier le comportement d'une équation différentielle linéaire autonome;
- d'analyser le portrait de phase d'une équation différentielle non-linéaire;
- d'analyser la stabilité d'un équilibre;
- d'étudier la commandabilité, l’observabilité et la stabilisation d'un système de contrôle linéaire.

nombre d'heure en présentiel

21

nombre de blocs

7

Volume horaire par type d'activité pédagogique : types d'activité

  • Cours magistral : 5
  • Petite classe : 13
  • Contrôle Final : 3

effectifs minimal / maximal

145/155

Diplôme(s) concerné(s)

Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole nationale supérieure de techniques avancées

Aucun pré-requis pour suivre ce cours en 1ère année.

Format des notes

Numérique sur 20

Littérale/grade américain

Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole nationale supérieure de techniques avancées

Vos modalités d'acquisition :

- Examen écrit SANS DOCUMENTS, excepté une feuille "aide-mémoire" de notes de cours. Cette feuille, manuscrite, pourra être établie par chaque élève à sa convenance.

- Un devoir maison sur le Calcul Différentiel sera donné à la séance 2 pour la séance 3. Il rapportera 2 points de bonus.

Nota: L'examen de rattrapage consiste en un écrit de 1h30 SANS AUCUN DOCUMENT (pas de feuille "aide-mémoire"). Il devrait avoir lieu après les vacances d'hiver (date à préciser).

Le rattrapage est autorisé (Max entre les deux notes écrêté à une note seuil)
  • le rattrapage est obligatoire si :
    Note initiale < 6
  • le rattrapage peut être demandé par l'étudiant si :
    6 ≤ note initiale < 10
L'UE est acquise si Note finale >= 10
  • Crédits ECTS acquis : 1.75 ECTS
  • Scientifique acquis : 1.75

Le coefficient de l'UE est : 1.75

La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

L'UE est évaluée par les étudiants.

Programme détaillé

1. Calcul différentiel
2. Calcul différentiel, suite (TD seulement)
3. Théorie générale des équations différentielles
4. Cas linéaire autonome
5. Equilibres et stabilité
6. Introduction à l'automatique
7. Contrôle de connaissances

https://3w2.ensta.fr/~dfr/Cours/index.php?usebdd=ensta&sigle=AO102&afficher=objectifs

Mots clés

Équations différentielles, stabilité

Méthodes pédagogiques

Livre "Stabilité et Commande des Systèmes Dynamiques. Cours et exercices corrigés, feuilles de TD. Version électronique : polycopié version 2011/2012, supports de cours, qui sont mis en ligne avant chaque séance.

Support pédagogique multimédia

Oui

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